数学分析B2（数学通修）

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课程简介

数学分析B2承接数学分析B1的内容，在单变量微积分的基础上，系统展开多变量微积分与级数理论。全册以空间解析几何为几何铺垫，以多变量微分与积分为分析主体，以Fourier分析和含参变量积分为高阶应用，形成“从几何到分析、从局部到整体、从微分到积分”的递进体系。

上半程首先建立空间解析几何（第8章），引入向量运算、坐标系、平面与直线方程及二次曲面分类，为后续提供直观支撑。随后进入多变量微分学（第9章），定义极限、连续性、偏导数与可微性，讨论方向导数、梯度和链式法则；重点阐述隐函数定理与逆映射定理，揭示方程约束下函数关系的存在性与可微性。Taylor公式被推广至多变量，并用于极值及条件极值（Lagrange乘数法）的判定。最后引入向量场的梯度、散度、旋度及微分形式初步，为场论提供语言工具。

下半程转向积分理论。重积分（第10章）从二重积分推广至三重及n重积分，系统讲解累次积分与换元法（Jacobi行列式），并辅以物理应用。曲线积分与曲面积分（第11章）区分数量场与向量场，分别定义第一、二型积分，并建立Green、Gauss和Stokes三大定理，实现高维微积分基本公式的统一，随后讨论保守场与势函数。Fourier分析（第12章）将周期函数展开为三角级数，讨论收敛性、平方平均收敛及Parseval等式，并推广至Fourier积分与变换。最后，反常积分与含参变量积分（第13章）系统研究收敛性判别、积分顺序交换及Euler积分（Gamma与Beta函数），展现特殊函数的重要应用。

全书坚持几何直观、代数表达与分析论证相结合，通过大量例题和习题强化计算与推理能力，完成了从单变量到多变量微积分的跨越，为后续微分方程、复变函数等奠定坚实基础。

课程安排上，本课程有期中期末考试，总评占比一般为平时/期中/期末：3/3/4或2/3/5.

学习技巧

相比B1，B2对几何直观的要求更高，对定理条件更敏感，学习时必须抓住“多变量”带来的新现象与新限制。

几何直观与分析推导并重

B2的每个概念几乎都有几何背景：梯度是曲面上升最快的方向，Jacobi行列式是面积/体积的局部缩放因子，散度刻画通量的源与汇，旋度描述涡旋的强度。Green、Gauss、Stokes三大公式更是将区域内部积分与边界积分统一起来，直观上可以理解为“总量等于边界贡献之和”。学习中应借助图像和物理直觉（通量、环量、功、势）建立第一印象，然后回归定义进行严格推导。

计算量的增大

相比于B1，B2的考核中计算的比重偏多。多变量极限的求解、重积分的换元与累次积分、曲线曲面积分的定向与投影、Fourier级数的系数积分等，都对计算熟练度和细节把控要求很高，务必形成规范的解题流程。当然，不能因为计算量的增大就完全放弃了证明，按照往年经验，一般考试的压轴题会是一道证明题。

打通各部分的内在联系

数学分析的各章节并非孤立，而是层层递进：隐函数定理为曲线曲面的切向量与法向量计算提供依据；重积分的换元依赖于Jacobi行列式，而Jacobi行列式又来自向量值函数的微分；三大积分公式将曲线积分、曲面积分与重积分统一起来，而微分形式的外微分则给出了它们的统一表达。同时，多变量函数的很多定理如中值定理、参数方程等都能看到单变量的影子。学习时应有意识地串联前后知识，形成“点—线—面—体”的整体网络。

多做错题整理，定期回顾

B2的题目综合性强，一道题可能涉及偏导数、链式法则、重积分换元等多个知识点。建议建立错题本，记录典型错误与解法技巧，比如曲面积分中法向量方向的判定、Fourier级数端点的收敛值、含参变量积分交换顺序的条件验证等，考前集中复习这些“易失分点”往往事半功倍。

与后续课程的关系

本课程是复变函数、概率论与数理统计、机器学习等一系列课程的硬性前置，重点理解链式法则、极值、多变量积分等知识点。傅里叶分析是信号处理系列课程必不可少的知识点，在各种名称中有“信号”的课程中都会涉及。

备考

同数学分析B1.由于计算量较大，建议同学们适当增加刷题量。

其他事项

数学分析B2在期末考时可能会涉及期中考过的知识点，尤其是多变量微分学，不要学了就扔。

按照课程安排，重积分会作为期中考试内容。具体范围请咨询任课教师。

一般不考傅里叶变换（注意傅里叶变换和傅里叶分析是两个不同的概念），但这个概念到后面的复变函数、信号与系统、随机过程等课程还会出现。