数学分析B1（数学通修）

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课程简介

数学分析B1是同学们在大学生活中需要学习的第一门“硬课”，对位其他学校的高等数学。6学分的巨大体量一方面让这门课程的课时和任务量较大，另一方面也增加了其在GPA中的占比。这门课被同学们亲切地称为“淑芬”。

本课程在内容编排上依照学期进程自然划分为上、下两个半程，形成由基础理论到综合应用的递进式教学体系。

上半学期始于对“极限”概念的严格化处理，从数列极限的“ε-N”定义与函数极限的“ε-δ”语言入手，系统探讨极限的存在性判别、求解方法及其在实数完备性理论中的核心作用。在此基础上，依次展开函数的连续性分析、导数的定义与计算法则，并借助微分中值定理（Rolle定理、Lagrange中值定理）搭建起导数与函数性态之间的桥梁。随后，利用导数深入研究函数的单调区间、极值判定、凸凹性及拐点等几何特征，最终归结为Taylor展开——它用多项式局部逼近复杂函数，既是对前述微分理论的精炼总结，也为后续近似计算与误差估计奠定了关键工具。

下半学期则从微分运算的逆问题出发，引入不定积分的概念与基本积分法（换元法与分部积分法），继而通过Newton-Leibniz公式揭示原函数与定积分之间的深刻互逆关系，从而引出定积分的严格Riemann定义及其可积性判别。在掌握积分计算技术后，课程将其应用于几何度量（面积、体积、弧长）和物理问题，并推广至广义积分。随后，教学重点转向常微分方程初步，涵盖一阶方程的分离变量法、齐次法与线性方程常数变易法，以及二阶线性方程解的结构与常系数情形的特征根解法。最后，引入无穷级数理论，从数项级数的敛散性判别（正项级数、交错级数）过渡到函数项级数的一致收敛性及其性质，并利用幂级数展开（Taylor级数）实现函数的新表达，为后续分析学及工程数学提供重要的工具性铺垫。

整个课程遵循“从局部到整体、从离散到连续、从微分到积分”的认知线索，力求在严谨的逻辑框架下，帮助学生系统掌握单变量微积分的核心思想与基本方法。

课程安排上，本课程有期中期末考试，总评占比一般为平时/期中/期末：3/3/4或2/3/5.

作为大一的第一门数理通修，本课程不需要前置知识，你只要保证懂高中数学，知道数列、函数和导数是什么就可以了。

学习技巧

Calculus 和 Analysis 两手都要抓！两手都要硬！

数学分析的题目一般分为计算题和证明题，且都会在考核中占有不小的比重。这要求同学们同时具备良好的基础和优秀的计算力。在课堂学习中，一定要把概念弄清楚，搞懂每个定义、定理都是怎么来的，又可以怎么使用。在写作业时可以从作业题中总结出某类题型的“题眼”（比如利用重要极限化简极限求解、利用函数周期改变积分区间等），从而高效做题。

直观和抽象结合

数学分析B1的大量结论都会有一个比较直观的解释。大量的结论都能从几何或物理中找到生动的解释——导数是切线的斜率，积分是曲边梯形的面积，中值定理是良好连续性的必然……直观的理解为我们提供了理解概念的“第一推动力”，然而直观不能代表严谨。在学习过程中，绝不能因“图像上看起来显然”或者“直觉上说得通”这类理由跳过逻辑论证和严格的形式化推导。解析解析，求解分析。我们最终还是要回到严格的数学定义。

数学用语一定要规范

数学分析是一门概念和定理繁多的课程，每一个定义背后都对应着严谨的逻辑前提，每一个定理的适用都有其“边界条件”，可以说差之毫厘谬之千里。因此同学们一定要养成良好的习惯，规范使用数学用语，不要“觉得差不多”就硬套公式或者硬写结论。这也提醒我们在备考时加强对知识点的记忆——不但要记公式/定理的内容，还要记条件和推论。

与后续课程的关系

基础不牢，地动山摇。本课程可以说是数学分析B2、复变函数、概率论与数理统计等一系列课程的前置，没有数学分析B1打基础，这些课程都会举步维艰。

备考

数学分析作为老牌通修课程，往年题很容易就能找到，考前老师和助教也会在课程群里发往年题。但是请同学们注意：数学分析并不是纯靠刷题就能学好的，很多东西还是要靠理解定义和书上的证明过程。建议翻书和做题结合。以及科大的数学分析难度较高，不建议再买其他的习题集（买了大概率也写不完）。

其他事项

近些年某些学院将数分改为了置课，同学们可以根据自身情况选择卷度不高的班级（一般来说，少院和物院的班级卷度偏高）

不建议大家翘掉数学分析，但是如果你没有选上心仪老师的班级，可以偷偷跑过去听人家班的课（注意自己班级有没有点名/小测）